Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang didalamnya melibatkan fungsi dan turunan atau diferensialnya. Jika fungsinya berupa fungsi satu peubah (variabel) bebas real maka turunannya merupakan turunan biasa, sehingga persamaannya disebut persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation).
Jika fungsinya berupa fungsi dari dua atau lebih peubah bebas real maka fungsinya merupakan turunan parsial dan persamaannya disebut persamaan diferensial parsial (partial differential equation).
Sebagai contoh:
a. dy/dx = x +5
b. d2y/dx2 + 3 dy/dx + 2 y = 0
c. x dy/dx + y = 3
d. d3y/dx3 + 2 (d2y/dx2)2 + dy/dx = cos x
e. (d2y/dx2)2 + (dy/dx)3+ 3 y = x2
Persamaan di atas semuanya adalah persamaan diferensial biasa sedangkan persamaan berikut:
f. ∂z/∂x = z + x ∂z/∂y
g. ∂2z/∂x2 + ∂2z/∂y2 = x2 + y
adalah persamaan diferensial parsial.
Orde dan Derajat
Orde (tingkat) dari suatu persamaan diferensial adalah tingkat atau indeks tertinggi dari turunan yang terlibat. Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan yang terlibat. Persamaan diferensial biasa yang berderajat satu kemudian dinamakan persamaan diferensial linear. Persamaan diferensial linear
(dy/dx)2 + x dy/dx + y = 0
berorde satu dan berederajat dua, sedangkan
d2y/dx2 + 2 x (dy/dx)3 + 2 y = x
merupakan persamaan diferensial linear yang berorde dua dan berderajat tiga.
Solusi Persamaan Diferensial
Solusi persamaan diferensial adalah suatu fungsi f(x) atau keluarga fungsi f(x) yang memenuhi persamaan diferensial, yaitu jika f(x) disubstitusikan untuk y dalam PD maka akan menghasilkan suatu pernyataan yang benar.
Solusi umum persamaan diferensial linear adalah suatu keluarga fungsi yang memuat atau mengandung beberapa parameter dan memenuhi persamaannya. Banyaknya parameter dalam solusi umum sama dengan orde persamaaan diferensialnya.
Solusi khusus persamaan diferensial linear adalah fungsi yang merupakan anggota dari keluarga fungsi solusi umum persamaan diferensialnya. Solusi khusus diperoleh dengan mensubstitusikan parameter pada solusi umum oleh suatu konstanta. Sebagai contoh:
Keluarga fungsi,
y = C1 cos x + C2 sin x
adalah solusi umum dari persamaan diferensial
d2y/dx2 + y = 0
karena untuk fungsi ini berlaku
dy/dx = – C1 sin x + C2 cos x
dan
d2y/dx2 = – C1 cos x – C2 sinx,
yang bila disubstitusikan ke persamaan diferensialnya akan menghasilkan suatu pernyataan yang benar. Patut diperhatikan bahwa keluarga ini terdiri dari dua parameter C1 dan C2 yang sesuai dengan orde persamaan diferensialnya. Salah satu anggota keluarga solusi umum persamaan diferensial di atas, yaitu
y = cos x
memenuhi persamaan diferensial
d2y/dx2 + y = 0
y(0) = 1,
dy/dx(0) = 0.
Fungsi y = cos x dapat dikatakan sebagai solusi khusus dari persamaan diferensial yang terakhir.
Solusi Singular
Solusi singular persamaan diferensial linear adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensialnya tetapi bukan merupakan suatu anggota keluarga dari solusi umumnya. Sebagai contoh:
Keluarga fungsi,
y = C x – C2

adalah solusi umum dari persamaan diferensial
(dy/dx)2 – x dy/dx + y = 0
karena bila,
dy/dx = C
disubstitusikan ke persamaan diferensial di atas akan menghasilkan
C2 – x C + C x – C2 = 0
yang merupakan suatu pernyataan yang benar.
Tetapi fungsi
y = ¼ x2 juga merupakan salah satu solusinya karena pada kasus ini
dy/dx = ½ x,
yang bila disubstitusikan ke persamaan diferensial di atas
(½ x)2 – x ½ x + ¼ x2 = 0,
suatu pernyataan yang benar. Fungsi y = ¼ x2 ini bukan diperoleh dari solusi umum persamaan diferensialnya. Solusi ini dinamakan solusi singular dari persamaan diferensialnya. Keluarga fungsi y = C x – C2 akan memiliki banyak nilai C yang real (misalkan C = ± ½, ± 2/3, ± 1, dst.). Bila diilustrasikan dalam grafik, setiap anggota keluarga solusi umum persamaan diferensial ini selalu menyinggung kurva y = ¼ x2.
Menentukan Persamaan Diferensial dari Solusi Umumnya
Jika kita mempunyai solusi umum dari suatu persamaan diferensial, maka dari banyaknya parameter kita dapat menentukan berapa tingkat persamaannya dan dengan mengeliminasi parameternya melalui operasi turunan biasa, kita dapat menentukan persamaan diferensialnya.
Sebagai contoh,
Kita ingin menentukan persamaan diferensial yang solusi umumnya adalah keluarga kurva,
y = C x2
Dari solusi umum ini kita peroleh,
C = y / x2, x ≠ 0 dan dy/dx = 2 Cx = 2 (y/x2) (x) = 2 y/x, x ≠ 0.
Jadi persamaan diferensial yang solusi umumnya y = C x2 adalah,
dy/dx = 2 y/x, x ≠ 0

Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan diferensial,
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
dikatakan eksak jika terdapat fungsi z = F(x, y) sehingga
dz = dF(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy
Formula berikut memberikan suatu cara untuk menyelidiki apakah suatu persamaan diferensial eksak atau tidak. Jika fungsi dua peubah M. N, ∂M/dy dan ∂N/dx kontinu, maka persamaan
diferensial,
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 eksak jika dan hanya jika,
∂M/dy = ∂N/dx.
Sebagai contoh,
Kita akan menentukan solusi umum persamaan diferensial,
(2xy + 1) dx + (x2 + 4y) dy = 0
Di sini,
M(x, y) = 2xy + 1 dan N(x, y) = x2 + 4y,
sehingga ∂M/dy = ∂N/dx. Jadi persamaan diferensial yang diberikan eksak. Karena itu terdapat fungsi z = F(x, y) sehingga, dF(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy
dimana,
∂F(x, y) / ∂x = M(x, y) = 2 xy + 1………………………………………………………………(1)
∂F(x, y) / ∂y = N(x, y) = x2 + 4y……………………………………………………………….(2)
Integralkanlah (1) terhadap x dengan menganggap y tetap, diperoleh,
F(x, y) = ∫ (2xy + 1) dx = x2y + x + ƒ(y)
Dari sini diperoleh,
∂F(x, y) / dy = x2 + ∂ƒ(y) / ∂y ………………………………………………………(3)
Selanjutnya, karena (2) dan (3) identik (berbentuk kesamaan), maka,
x2 + ∂ƒ(y) / ∂y = x2 + 4y.
∂ƒ(y) / ∂y = 4y
ƒ(y) = ∫ 4 y dy = 2 y2
Dengan demikian solusi umum persamaan diferensial ini adalah F(x, y) = C, yaitu,
x2y + x + 2 y2 = C

CONTOH 1.
Tunjukkanlah bahwa fungsi y = (A – x) cos x + (B + ℓn │sin x │) sin x adalah solusi umum persamaan diferensial d2y/dx2 + dy/dx = cosec x Penyelesaian :
Turunan pertama dan kedua fungsi yang diberikan adalah,
dy/dx = – (A – x) sin x + (– cos x) + (B + ℓn │sin x │) cos x + (cos x / sin x) sin x
= (x – A) sin x + (B + ℓn │sin x │) cos x
d2y/dx2 = (x – A) cos x + sin x + (B + ℓn │sin x │) (–sin x) + (cos x / sin x) cos x
Jumlahkanlah dan dan tunjukkanlah hasilnya sama dengan cosec x. Prosesnya adalah sebagai berikut,
d2y/dx2 + dy/dx = {(x – A) cos x + sin x + (B + ℓn │sin x │) (–sin x) +
(cos x / sin x) cos x} + {(x – A) sin x + (B + ℓn │sin x │) cos x}
= sin x + (cos2 x / sin x)
= (sin2 x + cos2 x) / sin x
= 1 / sin x
= cosec x
Dengan demikian terbuktilah apa yang diinginkan.
CONTOH 2.
Tentukanlah persamaan diferensial yang solusi umumnya adalah keluarga kurva
x2 + y2+ Cx = 0.
Penyelesaian :
Karena keluarga kurva yang diberikan memuat satu parameter, maka persamaan diferensialnya bertingkat satu. Dari persamaan keluarga kurva yang diberikan, diperoleh,
C = – (x2 + y2) / x dan 2x + 2y dy/dx + C = 0
Gantikanlah nilai C ini ke persamaan di kanan, diperoleh,
2x + 2y dy/dx – (x2 + y2) / x = 0
2×2 + 2xy dy/dx – x2 – y2 = 0
2xy dy/dx = y2 – x2
Jadi persamaan diferensial yang dimninta adalah,
dy/dx = (y2 – x2) / 2xy ; x, y ≠ 0

CONTOH 3.
Tentukanlah solusi umum persamaan diferensial (y exy – 2 y3) dx + (x exy – 6 xy2 – 2y)dy = 0.
Penyelesaian :
Dalam soal ini,
M(x, y) = y exy – 2 y3 dan N(x, y) = x exy – 6 xy2 – 2 y
∂M(x, y) / ∂x = yx exy + exy – 6 y2 = ∂N(x, y) / ∂y,
sehingga persamaan diferensial yang diberikan adalah eksak. Jadi terdapat fungsi z = F(x, y) sehingga,
dF(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy
dimana,
∂F(x, y) / ∂x = M(x, y) = y exy – 2 y3…………………………………………………………(1)
∂F(x, y) / ∂y = N(x, y) = x exy – 6 xy2 – 2 y………………………………………………(2)
Integralkanlah (1) terhadap x dengan menganggap y tetap, diperoleh,
F(x, y) = ∫ (y exy – 2 y3) dx = exy – 2 xy3 + ƒ(y)
Turunan parsial dari fungsi F terhadap peubah y menghasilkan,
∂F(x, y) / ∂y = x exy – 6 xy2 + ∂ƒ(y) / ∂y ……………………………………………….(3)
Selanjutnya, karena (2) dan (3) identik, maka,
x exy – 6 xy2 + ∂ƒ(y) / ∂y = x exy – 6 xy2 – 2 y∂ƒ(y) / ∂y = –2 y
ƒ(y) = ∫ (–2 y) dy = –y2
Karena itu solusi umum persamaan diferensial ini adalah
F(x, y) = C, yaitu, x exy – 2 xy3 – y2 = C
CONTOH 4.
Tentukan solusi umum persamaan diferensial 3(x2 + y2) ey dx + x(x2 + 3 y2 + 6 y) ey dy= 0.
Penyelesaian :
Dalam soal ini,
M(x, y) = (3×2 + 3y2) ey dan N(x, y) = (x3 + 3 xy2 + 6 xy) ey
dengan,
∂M(x, y) / ∂y = (3×2 + 3y2) ey + 6 y ey = ∂N(x, y) / ∂x,
sehingga persamaan diferensial yang diberikan adalah eksak. Jadi terdapat
fungsi z = F(x, y) sehingga, dF(x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy
dimana,
∂F(x, y) / ∂x = (3×2 + 3y2) ey………………………………………………………………….(1)
∂F(x, y) / ∂y = (x3 + 3 xy2 + 6 xy) ey……………………………………………………..(2)
Integralkanlah (1) terhadap x dengan menganggap y tetap, diperoleh,
F(x, y) = ∫ (3×2 + 3y2) ey dx = x3 ey + 3 xy2 ey + ƒ(y)
Turunan parsial dari fungsi F terhadap peubah y menghasilkan,
∂F(x, y) / ∂y = (x3 + 3 xy2 + 6 xy) ey + ∂ƒ(y) / ∂y …………………………………….(3)
Selanjutnya, karena (2) dan (3) identik, maka,
(x3 + 3 xy2 + 6 xy) ey + ∂ƒ(y) / ∂y = (x3 + 3 xy2 + 6 xy) ey
∂ƒ(y) / ∂y = 0 ƒ(y) = C*
Karena itu solusi umum persamaan diferensial ini adalah F(x, y) = C*, yaitu,
x3 ey + 3 xy2 ey + C* = C*
atau,
x3 ey + 3 xy2 ey = C
1. dy/dx + xy – cos x = 0
2. L d2Q/dt2 + R dQ/dt + Q/C = 0
3. d3y/dx3 + x d2y/dx2 + 2y (dy/dx)2 + xy = 0
4. (d2y/dx2)(dy/dx) + x (dy/dx)2 + y = 0
5. (d3y/dx3 )2 – x (d2y/dx2)4 + xy = 0
6. ed3y/dx3 – x d2y/dx2 + y = 0
7. (dy/dx + y)1/2 = sin x
8. dy/dx + x = (y – x dy/dx)-3
9. d2y/dx2 = [y + (dy/dx)2]1/4
10. (dy/dx)2 – x dy/dx + y = 0
11. d2y/dx2 + 2x (dy/dx)3 + 2y = x
12. xy d2y/dx2 – y dy/dx – x (dy/dx) 2 = 0
13. y d2y/dx2 + (dy/dx)2 + 1 = 0
14. (1 – cos x) dy/dx = y sin x
15. (x dy/dx – y)2 = 1 + (dy/dx)2

Penyelesaian Persamaan Differensial
Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial dinyatakan sebagai persamaan yang mengandung suatu besaran dan differensialnya, dan dituliskan dengan :

F(x,dx/dt,(d^2 x)/〖dt〗^2 ,…,(d^n x)/〖dt〗^n ,t) = 0

Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks. Salah satu persamaan differensial yang banyak digunakan dalam penerapannya adalah Persamaan Differensial Linier, yang dituliskan dengan:

a_n (d^n x)/〖dt〗^n +a_(n-1) (d^(n-1) x)/〖dt〗^(n-1) +⋯+a_1 dx/dt+ a_0 x=f(t)

Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara analitik seperti pemakaian Transformasi Laplace, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial linier ini menjadi sulit diselesaikan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial yang sederhana berikut ini:

x(dy/dx)^2+dy/dx- y=1

Persamaan diffrensial di atas tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diffrensial di atas bukanlah sesuatu yang mudah, bahkan dapat dikatakan dengan menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan penyelesaian. Sehingga pemakaian metode-metode pendekatan dengan metode numerik menjadi suatu alternative yang dapat digunakan.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metode-metode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas yang ditentukan. Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model matematis di dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial.
Persamaan Diferensial Variabel-Variabel Terpisah
Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0
Penyelesaian Umum PD adalah :
∫f(x) dx + ∫g(y) dy = c, c adalah konstanta sembarang

Contoh.
Selesaikan PD berikut : x5 dx + (y + 2)2 dy = 0
Solusi
Karena variabel-variabelnya telah terpisah maka langsung diintegrasikan bagian demi bagian :
∫x5 dx + ∫(y + 2)2 dy = 0
1/6×6 + 1/3(y + 2)3 = k
x6 + 2(y + 2)3 = 6k atau x6 + 2(y + 2)3 = c, dimana c = 6k
Penyelesaian umum PD itu adalah x6 + 2(y + 2)3 = c
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : 9ydy/dx + 4x = 0
Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama
Bentuk PD : dy/dx + y P(x) = Q(x)
Persamaan ini mempunyai factor integrasi e∫p(x) dx
Penyelesaian umum PD ini adalah : y e∫ p(x) dx = ∫Q(x) e∫p(x) dx dx + c

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :
Tentukan factor integrasi
Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum PD di atas.

Contoh Selesaikan PD berikut : dy/dx + y = 2 + 2x
Solusi
Dari sini : P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x
Factor integrasi e∫p(x) dx = e∫dx = ex
Solusi umum PD linier orde satu ini adalah :
Y . ex = ∫(2 + 2x) ex dx
= 2∫ex dx + 2∫ xex dx (gunakan rumus integrasi)
= 2 ex + 2[xex - ∫ex dx]
= 2 ex + 2 xex – 2ex + c
= 2x ex + c
y = (2x ex + c) e-x
Penyelesaian umum PD adalah : y = 2x + c e-x

Persamaan Differensial Order satu derajat satu.
Bentuknya :
M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 atau

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0

I ( x , y ) dx + J ( x , y ) dy = 0
Persamaan Differensial ini dibagi atas :
Persamaan differensial dari bentuk :

dinamakan separabel bila f(x,y) = h(x) g(y); that is,

Untuk penyelesaian dari persamaan ini dilakukan beberapa langkah ( steps ) yaitu :
(1) Untuk g(y) = 0 maka penyelesaian merupakan suatu konstante.
(2) Persamaan (S) ditulis sebagai :
,

Kemudiasn diintegralkan kedua ruas kiri dan kanan yaitu :

akan diperoleh

(3) Konstante yang muncul pada ruas kiri dan kanan , cukup di tulis satu kali saja
Bila pada persamaan diberikan syarat awal , maka substitusikan syarat tersebut dalam persamaan pada step (3) maka akan diperoleh konstante C
Contoh : y2 dy + x3 dx = 0
Persamaan diatas sudah memenuhi bentuk umum sehingga langsung di integralkan.

Contoh 2 :

Pertama harus dilakukan pemisahan variabel seperti berikut :

atau dapat ditulis sebagai berikut :

Kemudian diintegralkan :

Contoh 3:
Lakukan pemisahan variabel

Kemudian diintegralkan :

Misalkan u = (1 + 4×2),

Sehingga du = 8x dx  du/8 = x dx

didapat penyelesaian umum adalah :

Contoh : temukan solusi dari

Untuk mencari penyelesaian konstante maka dicari penyelesaian dari y2 – 1 = 0
diperoleh y = 1 dan y = -1
Persamaan ditulis dalam bentuk :
.
Kedua ruas kiri dan kanan di integralkan :
,
diperoleh

Penyelesaian dari persamaan adalah :

Karena penyelesaian konstante tidak memenuhi maka selanjutnya substitusikan syarat y = 2 untuk x = 1 diperoleh :
.
Penyelesan akan menjadi
Kedua ruas dikalikan dengan 2 dan dengan operasi logaritma diperoleh :

Setelah di sederhanakan didapat :

Soal-soal :
Selesaikan P.D : x dy + y dx = 0 gabungkan f(y) dengan dy dan f(x) dengan dx
Jawab.
ln y + ln x = c1 atau xy = c
Selesaikan P.D : x = y2 + 1
Jawab
arc tg y = ln x + c
Selesaikan P.D :
Jawab. y dy = x2 dx  ½ y2 = 1/3 x3 + c

3 y2 – 2×3 = c
Selesaikan P.D :
Jawab.

Selesaikan P.D : ( xy2 + x ) dx + (yx2 + y ) dy = 0 dan cari penyelesaian
khusus bila y(1) = 2
Jawab. x ( y2 + 1 ) dx + y ( x2 + 1 ) dy = 0

½ ln ( x2 + 1 ) + ½ ln ( y2 + 1 ) = c1 atau
( x2 + 1 ) ( y2 + 1 ) = c untuk x = 1 dan y = 2 didapat
(12+1)(22+1) = c
c = 10 Jadi penyelesaian khusus :
( x2 + 1 ) ( y2 + 1 ) = 10
Selesaikan P.D : ( 1 + x2 ) dy + xy dx = 0
Jawab.
ln y + ½ ln ( 1+x2 ) = c1 atau y2 ( 1 + x2 ) = c
Selesaikan P.D : dx – x tg y dy = 0
Jawab.
ln x + ln cos y = ln c atau x cos y = c

Selesaikan P.D : dy = ( 4 x + y + 1 ) 2 dx
Jawab. misalkan z = 4x + y + 1

arc tg ( + c
Reduksi Ke Variabel-Variabel Terpisah
Bentuk PD : f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0
Direduksi dengan faktor integral 1/(g_1 (y) f_2 (x)), menjadi : (f_1 (x))/(f_2 (x)) dx + g_2(y) /(g_1 (y)) dy = 0
Karena telah berubah menjadi PD variabel-variabel terpisah maka penyelesaian umum PD adalah :
∫▒〖(f_1 (x))/(f_2 (x)) dx+ ∫▒〖(g_2 (y))/(g_1 (y)) dy=c〗〗, c adalah konstanta sembarang
Contoh.
Selesaikan PD berikut : (1 + 2y) dx + (x – 4) dy = 0
Solusi
Faktor integrasi = 1/((1+2y)(x-4)) sehingga PD tersebut tereduksi menjadi :
1/((1+2y)(x-4)) [(1+2y)dx+ (x-4)dy]=0
⇔ dx/(x-4) + dy/(1+2y)=0
⇔ dx/(x-4) + dy/(1+2y)=k (gunakan rumus integrasi B.E)
⇔ ln |x – 4| + ½ ln |1 + 2y| = k
⇔ 2 ln |x – 4| + ln |1 + 2y| = 2k
⇔ ln (x – 4)2 + ln (1 + 2y) = ln, dimana c = e2k
⇔ (x – 4)2 (1 + 2y) = c
∴ Penyelesaian umum PD adalah (x – 4)2 (1 + 2y) = c
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :
xy dx + (1 + x2) dy = 0
(xy + x) dx + (xy – y) dy = 0
dy/dx= 4y/(xy-3x)

Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan PD eksak jika ∂M/∂y= ∂N/∂x mempunyai penyelesaian umum f(x, y) = c.

Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f(x, y)
Perhatikan bahwa : ∂f/∂x = M(x, y) dan ∂f/∂y = N(x, y)
Integrasikan M(x, y) terhadap x dengan y tetap.
∂f/∂x dx=M(x,y)dx
F(x, y) =∫M(x, y) dx + ∅y
Dimana ∅y adalah fungsi sembarang dari y saja
Fungsi f(x, y) dalam langkah ke 2, didiferensialkan parsial terhadap y diperoleh ;
∂f/∂y= ∂/∂y [∫M(x,y)dx]+ (d∅)/dy
Karena ∂f/∂y = N(x, y) maka : (d∅)/dy= N(x,y)- ∂/∂y [∫M(x,y)dx] dari sini ∅(y) dapat diperoleh
∅(y) yang baru saja diperoleh disubstitusikan ke f(x, y) dalam langkah ke 2. Dengan deminkian f(x, y) = c diperoleh
Catatan
Dari langkah ke 2 dapat diintegrasikan N(x, y) terhadap y dengan x tetap. Langkah selanjutnya adalah sama, hanya peranan x diganti y (atau sebaliknya)
Contoh
Selesaikan PD berikut : (x2 – y) dx – x dy = 0
Solusi
M = (x2 – y), ∂M/∂y= -1
N = -x, ∂N/∂x= -1
Karena ∂M/∂y= -1= ∂N/∂x maka PD eksak
F(x, y) = c
Karena ∂f/∂x = M maka f(x, y) = ∫x (x2 – y) dx = 1/3 x^3 – yx + ∅(y)
Dimana ∅(y) adalah fungsi sembarang dari y saja.
[∫x berarti integral terhadap x dengan y tetap]
Langkah selanjutnya, mencari ∅(y), dengan cara mendeferensialkan parsial terhadap y dan diperoleh : ∂f/∂x – x + ∂/∂y ∅(y)
Karena ∂f/∂x = N, maka –x + ∂/∂y ∅(y) = -x
⇔ ∂/∂y ∅(y) = 0
⇔ ∅(y) = k (konstanta)
Sehingga f(x, y) = 1/3 x^3 – yx + k
= c
Penyelesaian umum PD eksak ini adalah 1/3 x^3 – yx = c
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :
(x2 + y2) dx + 2 xy dy = 0
(2x + ey) dx + x ey dy = 0
(x + y cos x) dx + sin x dy = 0
(x + y + 1) dx – (y – x + 3) dy = 0
(2x + 3y + 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0

Reduksi Ke Persamaan Diferensial Eksak
Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi µ(x, y) sedemikian sehingga PD : µ(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi µ(x, y) dinamakan faktor integrasi dari PD di atas.
Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain :
Jika (∂M/∂y- ∂N/∂x)/N = f(x) suatu fungsi dari x saja, maka e∫f(x) dx adalah suatu faktor integrasi PD itu.
Jika (∂M/∂y- ∂N/∂x)/M = – g(y) suatu fungsi dari g saja, maka e∫g(y) dy adalah suatu factor integrasi dari PD itu.
Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 merupakan PD homogen dan xM + yN ≠ 0, maka 1/(xM+yN) adalah suatu faktor integrasi PD tersebut.
Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dapat ditulis didalam bentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0 dimana f(xy) ≠ g(xy), maka 1/(xM-yN) adalah suatu faktor integrasi PD itu.
Persamaan xp yq (my dx + nx dy) + xr ys (uy dx + vxd y) = 0 dimana p, q, r, s, m, n, u, v, adalah konstanta dan mv – nu ≠ 0 mempunyai faktor integrasi berbentuk x^α y^β.
Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara mencoba-coba sedemikian sehingga pada kelompok bagian tertentu dapat menjadi diferensial eksak.
Misalnya

Kelompok bagian Factor integrasi Diferensial eksak
(x dy – y dx) 1/x^2 (x dy-y dx)/x^2 =d(y/x)
(x dy – y dx) 1/y^2 -(y dx-x dy)/y^2 =d((-y)/x)
Dan seterusnya

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD
Periksa dahulu apakah PD nya merupakan PD eksak. Kalau merupakan PD eksak pakailah langkah J. Kalau bukan merupakan PD eksak, carilah faktor integrasi yang cocok agar PD semula dapat tereduksi ke PD eksak
Apabila faktor integrasi yang cocok tersebut adalah salah satu dari jenis 1 – jenis 4, maka pakailah langkah J untuk menentukan penyelesaian umum PD
Apabila menggunakan faktor integrasi jenis 5, maka ada prosedur tersendiri yaitu mencari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua untuk mendapatkan harga α dan β
Faktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah α dan β disubstitusikan pada x^α y^β akan mereduksi PD semula (tidak eksak) menjadi PD eksak. Gunakan langkah J
Apabila menggunakan faktor integrasi coba-coba, maka tidak ada prosedur tertentu hanya pada dasarnya PD semula menjadi lebih sederhana dan mudah diselesaikan.

Contoh :
Selesaikan PD berikut : (2y – x3) dx + x dy = 0
Solusi
M = 2y – x3 , ∂M/∂y=2
N = x, ∂N/∂x=1
Karena ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x maka merupakan PD tidak eksak
Selanjutnya mencari faktor integrasi yang dapat meredaksi PD tidak eksak menjadi PD eksak
(∂M/∂y- ∂N/∂x)/N = (2-1)/x= 1/x = f(x) maka factor integrasinya adalah e∫1/x dx = eln|x| = x

Selanjutnya PD semula tereduksi menjadi x[(2y – x3) dx + x dy] = 0
⇔ (2xy – x4) dx + x2 dy = 0
Dari persamaan ini, berarti bahwa :
M = 2xy – x4, ∂M/∂y=2x
N = x2, ∂N/∂x=2x

Karena ∂M/∂y = ∂N/∂x, maka PD yang telah tereduksi ini merupakan PD eksak.
Untuk mendapatkan solusi umum PD ini dapat digunakan langkah J
F(x, y) = c
Karena ∂f/∂x = M maka f(x, y) = ∫x (2xy – x4) dx
= x2y – 1/5×5 + ∅(y)

Fungsi ∅(y) dicari dengan mendeferensialkan parsil fungsi f(x, y) ini terhadap y
∂f/∂y= x^2+ ∂/∂y∅(y)
Karena ∂f/∂y= N maka x2 + ∂/∂y∅(y) = x2
⇔ ∂/∂y∅(y) = 0
⇔ ∅(y) = k (konstanta)
Sehingga f(x, y) = x2y – 1/5×5 + k
⇔ c
Solusi umum PD eksak ini adalah merupakan solusi umum PD semula yang direduksi ke PD eksak Penyelesaian umum PD semula adalah x2y – 1/5×5 = c

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: